تم النشر اليوم 2023-10-16 |

تطبيقات دالة بيسل

تظهر معادلة بسل عند الحاجة لحلول معادلة لابلاس ومعادلة هيلمتز في إحداثي إسطواني الإحداثيات الإسطوانية أو إحداثي كروي الإحداثيات الكروية . لذا فإن دوال بسل ذات أهمية كبرى في مسائل انتشار الموجة و جهد ساكن الساكنة .



عند حل مسائل في أنظمة الاحداثيات الاسطوانية، يحصل المرء على دوال بسل ذات رتبة صحيحة (خ± < >n) في الاحداثيات الكروية يحصل على رتب أنصاف أعداد صحيحة (خ± < >n  +  ½). على سبيل المثال

• موجات كهرومغنطيسية في دليل الموجة الاسطواني.


• توصيل حراري قانون توصيل الحرارة في جسم اسطواني.


• أنماط التذبذب في جسم دائري (حلقي) غشاء صناعي (مثلا طبلة أو أي ممبرانوفون ).


• مسائل الانتشار على شكل شبكي.


• حلول معادلة شرودنجر(في الاحداثيات الكروية) لجسيم طليق.

هناك تطبيقات أخرى لدوال بسل وخواص كما في معالجة الإشارة (مثل اصطناع الإف إم ، نافذة كايسر ، مرشح بسل ).

تعاريف

بما أن دالة بسل معادلة تفاضلية، ينبغي أن يكون لها حلين استقلال خطي مستقلين خطيا . اعتمادا على الحالات، بالرغم من ذلك، فإن صيغا مختلفة من هذه الحلول تكون مناسبة. فيما يلي وصفا لهذه الأنواع المختلفة.

دوال بسل من النوع الأول < >J< >خ±

دوال بسل من النوع الأول التي يرمز لها J_alpha(x),, هي حلول معادلة بسل التفاضلية التي تكون محدودة عند نقطة الأصل (x 0), لعدد صحيح غير سالب alpha,, وتتباعد عندما تقترب x, من الصفر لعدد صحيح غير سالب alpha,. يعرف نوع الحل (عدد صحيح أم غير صحيح مثلا) وانتظام J_alpha(x), بدلالة خواصه (انظر خواص دالة بسل). من الممكن تعريف الدالة من منشورها في متسلسلة تايلور حول x 0,

J_alpha(x) sum_ m 0 ^infty frac (-1)^m m! Gamma(m+alpha+1) ( frac x 2
ight) ^ 2m+alpha

حيث Gamma(z), هي دالة غاما ، تعميم دالة المضروب للقيم الغير صحيحة. يبدو رسم دوال بسل شبيها بدوال الجيب وجيب التمام المتضائلة طرديا مع 1/sqrt(x) مع أن جذورها ليست دورية عموما، سوى لقيم < >x التي يمكن مقاربتها. تشير متسلسلة تايلور إلى أن -J_1(x), تمثل مشتقة J_0(x),, تماما مثل -sin(x), التي هي مشتقة cos(x), وبشكل عام يمكن التعبير عن المشتقة J_n(x), بدلالة J_ npm 1 (x), من مطابقات دوال بسل كما هو مبين في الأسفل.




Bessel Functions (1st Kind, n 0,1,2).svg 300 مخطط دالة بسل من النوع الأول, Jخ±(x), لرتب صحيحة خ± 0,1,2.

للقيم الغير صحيحة خ±, تكون الدوال J_alpha (x), وJ_ -alpha (x), مستقلة خطيا, وتكون بالتالي الحلين العامين للمعادلة التفاضلية. من جهة أخرى، للأعداد الصحيحة alpha,, تكون العلاقة التالية صحيحة (لاحظ أن دالة غاما تصبح لانهائية لحجج الأعداد الصحيحة السالبة)

J_ -n (x) (-1)^n J_ n (x).,

هذا يعني أن الحلين لم يعودا مستقلين خطيا. في هذه الحالة يكون الحل الاخر المستقل خطيا يكون دوال بسل من النوع الثاني كما هو مناقش في الأسفل.

تكاملات بسل

يمكن الحصول على تعريف اخر لدالة بسل، للقيم الصحيحة < >n، باستعمال الصورة التكاملية

J_n(x) frac 1 pi int_ 0 ^ pi cos (n au - x sin au) ,mathrm d au.

لقد كانت هذه هي الطريقة التي استعملها بسل، ومن هذا التعريف اشتق بعض الخصائص. يمكن تعميم التعريف إلى الرتب الغير صحيحة بإضافة حد اخر

J_alpha(x)

frac 1 pi int_ 0 ^ pi cos(alpha au- x sin au)d au



- frac sin(alphapi) pi int_ 0 ^ infty


e^ -x sinh(t) - alpha t dt.

هنا صورة تكاملية أخرى

J_n (x) frac 1 2 pi int_ -pi ^ pi e^ -mathrm i ,(n au - x sin au) ,mathrm d au.

صلتها بالدوال الزائدية الهندسية

صلتها بمتعددات حدود لاغيري

دوال بسل من النوع الثاني < >Y< >خ±

دوال هانكل H< >خ±< >

دوال بسل المعدلة I< >خ±< >, K< >خ±< >

دوال بسل الكروية j< >  n< >, y< >  n< >

علاقات تفاضلية

f_n التالية هي أي من j_n, y_n, h_n^ (1) , h_n^ (2) حيث n 0,pm 1,pm 2,dots

(frac 1 z frac d dz
ight)^m (z^ n+1 f_n(z)
ight) z^ (n-m)+1 f_ (n-m) (z).

دوال هانكل الكروية h< >  n< >

دوال بسل-ريكاتي S_n, C_n, zeta_n

أشكال مقاربة

خواص دوال بسل

صلتها بتحويل فورييه

مبرهنة الضرب

فرضية بورغيت

مطابقات مختارة

• I_ -frac 1 2 (frac z 2
  ight)+ I_ frac 1 2 (frac z 2
  ight) frac 2 e^ frac z 2 sqrt pi z


• I_
  u(z) sum_ k 0 frac z^k k! J_
  u+k (z)


• J_
  u(z) sum_ k 0 (-1)^k frac z^k k! I_
  u+k (z)


• I_
  u (lambda z) lambda^
  u sum_ k 0 frac ((lambda^2-1) frac z 2
  ight)^k k! I_
  u+k (z)


• I_
  u (z_1+z_2) sum_ k -infty ^infty I_
  u-k (z_1)I_k(z_2)


• J_
  u(z) frac z 2
  u (J_
  u-1 (z)+J_
  u+1 (z)), quad I_
  u(z) frac z 2
  u (I_
  u-1 (z)-I_
  u+1 (z))


• J_
  u"(z) frac 1 2 (J_
  u-1 (z)-J_
  u+1 (z)), quad I_
  u"(z) frac 1 2 (I_
  u-1 (z)+I_
  u+1 (z))


• (frac x 2
  ight)^
  u sum_ k 0 (-1)^k frac Gamma(k+
  u) k! (2k+
  u) I_ 2k+
  u (x).

في الرياضيات ، دوال بسل إنك Bessel functions هن الحلول القانونية (< >y(< >x معادلة تفاضلية لمعادلة بسل التفاضلية

x^2 frac d^2 y dx^2 + x frac dy dx + (x^2 - alpha^2)y 0

من أجل عدد مركب خ± (< >رتبة دالة بسل).





الحالة الخاصة والأكثر انتشارا وأهمية هي عندما تكون خ± عدد صحيح عددا صحيحا أو عدد نصف صحيح عددا نصف صحيح .



كان الرياضياتي دانييل برنولي أول من عرفها ثم عممت من قبل فريدريش بيسيل .



مع أن خ± و−خ± تعطي نفس المعادلة التفاضلية, من المألوف تعريف دوال بسل مختلفة للترتبتين هاتين. تعرف دوال بسل أيضا ب دوال الاسطوانة أو التوافقيات الاسطوانية لأنها تمثل الحل ل معادلة لابلاس في نظام إحداثي أسطواني الإحداثيات الاسطوانية .