[ تعرٌف على ] قواعد التفاضل
تم النشر اليوم [dadate] | قواعد التفاضل
قواعد التفاضل العامة
التفاضل خطي
المقالة الرئيسة: خطية التفاضل
( c
f ) ′ =
c f
′ {\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}
( f
+
g ) ′ = f
′ + g
′ {\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'}
قاعدتا الضرب والقسمة المقالة الرئيسة: قاعدة الضرب
( f
g ) ′ = f
′ g
+
f g
′ {\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}
اشتقاق دالة هي عبارة عن حاصل ضرب دالتين يساوي الأولى ضرب مشتقة الثانية + الثانية ضرب مشتقة الأولى. (
f
g
) ′ =
f
′ g
−
f g
′ g 2
, g
≠
0
{\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0}
قاعدة السلسلة (أو التسلسل) المقالة الرئيسة: قاعدة السلسلة
(
f
∘
g )
′ =
( f
′ ∘
g
) g
′ {\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'} h
′ (
x
)
= f
′ (
g
(
x
)
)
⋅ g
′ (
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}
d d
x h
(
x
)
=
d d
z f
(
z
)
|
z
=
g
(
x
)
⋅
d d
x g
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),} d
h
(
x
)
d
x = d
f
(
g
(
x
)
)
d
g
(
x
) ⋅ d
g
(
x
)
d
x .
{\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}
[ D (
f
∘
g
) ] x
=
[ D f ] g
(
x
)
⋅
[ D g ] x .
{\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}
اشتقاق الدوال المضروبة والمقسومة لوغاريتميًّا
في حالة الضرب
إن كانت y
=
f
g
{\displaystyle y=fg} فيمكن أخذ لوغاريتم طبيعي للجانبين: ln
(
y
)
=
ln
(
f
g
)
{\displaystyle \ln(y)=\ln(fg)} من خصائص اللوغاريتمات أن لوغاريتم مضروبين يساوي مجموع لوغاريتم كل منهما ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
{\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)} ، إذًا بتطبيق هذه الخاصية تصير الصيغة: ln
(
y
)
=
ln
(
f
)
+
ln
(
g
)
{\displaystyle \ln(y)=\ln(f)+\ln(g)} باشتقاق الجانبين ضمنيًّا:
y
′ y
= f
′ f
+ g
′ g
{\displaystyle {\frac {y'}{y}}={\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}} بضرب الجانبين في y
{\displaystyle y} :
y
′ =
y (
f
′ f
+ g
′ g ) {\displaystyle y'=y\left({\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}\right)} ثم يعوض بقيمة y
{\displaystyle y} التي هي الدالة الأساسية y
=
f
g
{\displaystyle y=fg} :
y
′ =
f
g (
f
′ f
+ g
′ g ) {\displaystyle y'=fg\left({\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}\right)} بالضرب واختصار الكسور:
y
′ = f
′ g
+ g
′ f
{\displaystyle y'=f'g+g'f} في حالة القسمة
ينطبق ما سبق في حالة القسمة، بيد أنه في القسمة يساوي لوغاريتم مقسوم عددين مطروح لوغاريتم كل منهما ln
(
a
b
) =
ln
(
a
)
−
ln
(
b
)
{\displaystyle \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b)} ، ويمكن استخدام الطريقة السابقة لاشتقاق الدوال المكونة من مضروب و/أو مقسوم دالتين فأكثر. قاعدة المقلوب
(
1
f
) ′ = − f
′ f 2
, f
≠
0
{\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'={\frac {-f'}{f^{2}}},\qquad f\neq 0}
مشتقة الدالة المعكوسة المقالة الرئيسة: دوال عكسية وتفاضلها
إذا كانت دالة f ما، تقبل دالة عكسية، فإن: ( f −
1 )
′ =
1
f
′ ∘ f −
1 {\displaystyle (f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}}
لأي دالة قابلة للتفاضل f لها قيم حقيقية، عندما تتواجد مركباتها ومعكوساتها. اعلم بأن المقلوب هو المعكوس في كل الدوال إلا الدوال المثلثية إذ إن معكوساتها ليست مقلوباتها، فمعكوس الدالة المثلثية ينتج الزاوية من قيمة دالة مثلثية عندها. قاعدة الأس العامة
( f g )
′ =
( e g
ln
f
) ′ = f g (
f
′ g
f
+ g
′ ln
f ) , f
>
0
{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0}
مشتقات الدوال المثلثية
المقالة الرئيسة: تفاضل دوال مثلثية
(
sin
x )
′ =
cos
x {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,} (
arcsin
x )
′ =
1
1
− x 2 {\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
cos
x )
′ =
−
sin
x {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,} (
arccos
x )
′ = −
1 1
− x 2 {\displaystyle (\arccos x)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
tan
x )
′ = sec 2
x
=
1
cos 2
x
{\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}\,} (
arctan
x )
′ =
1 1
+ x 2
{\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}
(
sec
x )
′ =
sec
x
tan
x {\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,} (
arcsec
x )
′ =
1
| x |
x 2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
csc
x )
′ =
−
csc
x
cot
x {\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,} (
arccsc
x )
′ = −
1 | x |
x 2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
cot
x )
′ =
− csc 2
x
= −
1 sin 2
x
{\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}\,} (
arccot
x )
′ = −
1
1
+ x 2
{\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'={-1 \over 1+x^{2}}\,}
مشتقات الدوال الزائدية
(
sinh
x )
′ =
cosh
x
=
e x
+ e −
x 2
{\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} (
arsinh x )
′ =
1 x 2
+
1
{\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
(
cosh
x )
′ =
sinh
x
=
e x
− e −
x 2
{\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} (
arcosh x )
′ =
1 x 2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}
(
tanh
x )
′ = sech 2 x
{\displaystyle (\tanh x)'=\operatorname {sech} ^{2}\,x} (
artanh x )
′ =
1 1
− x 2 {\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
مشتقات الدوال البسيطة
c
′ =
0 {\displaystyle c'=0\,} x
′ =
1 {\displaystyle x'=1\,}
(
c
x )
′ =
c {\displaystyle (cx)'=c\,} | x
| ′ =
x
| x |
=
| x |
x
, x
≠
0
{\displaystyle |x|'={x \over |x|}={|x| \over x},\qquad x\neq 0}
( x c )
′ =
c x c
−
1
{\displaystyle (x^{c})'=cx^{c-1}} حيث كلا من
x c {\displaystyle x^{c}\,} و c x c
−
1 {\displaystyle cx^{c-1}\,} هي دوال معرفة
(
1
x
) ′ =
( x −
1
) ′ =
− x −
2
=
−
1 x 2
{\displaystyle \left({1 \over x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}}
(
1 x c
) ′ =
( x −
c
) ′ =
−
c x −
(
c
+
1
)
=
−
c x c
+
1
{\displaystyle \left({1 \over x^{c}}\right)'=\left(x^{-c}\right)'=-cx^{-(c+1)}=-{c \over x^{c+1}}}
(
x
) ′ =
( x
1
2 ) ′ =
1
2 x −
1
2
=
1 2
x , x
>
0
{\displaystyle \left({\sqrt {x}}\right)'=\left(x^{1 \over 2}\right)'={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0}
مشتقات الدوال الخاصة
دالة غاما
(
Γ
(
x
) )
′ = ∫ 0
∞ t x
−
1 e −
t
ln
t d
t
{\displaystyle (\Gamma (x))'=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}
(
Γ
(
x
) )
′ =
Γ
(
x
) (
∑ n
=
1
∞ ( ln
( 1
+ 1
n
) − 1 x
+
n ) − 1
x
) =
Γ
(
x
)
ψ
(
x
)
{\displaystyle (\Gamma (x))'=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)=\Gamma (x)\psi (x)}
حيث ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)} هي دالة بوليغاما [الإنجليزية].
دالة زيتا لريمان
(
ζ
(
x
) )
′ =
− ∑ n
=
1
∞ ln
n
n x
=
− ln
2
2 x
− ln
3
3 x
− ln
4
4 x
−
⋯ {\displaystyle (\zeta (x))'=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!}
(
ζ
(
x
) )
′ =
− ∑ p prime p −
x
ln
p
(
1
− p −
x ) 2
∏ q prime ,
q
≠
p
1 1
− q −
x
{\displaystyle (\zeta (x))'=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!}
مشتقات الدوال الأسية
( c x
) ′ =
c x
ln
c , c
>
0
{\displaystyle \left(c^{x}\right)'={c^{x}\ln c},\qquad c>0}
المعادلة السابقة صحيحة لأي c، ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب. ( e x
) ′ = e x
{\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x}}
(
log c
x ) ′ =
1 x
ln
c , c
>
0
,
c
≠
1
{\displaystyle \left(\log _{c}x\right)'={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}
المعادلة السابقة صحيحة أيضا لأي c، ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب. ( ln
x ) ′ =
1
x
, x
≠
0
{\displaystyle \left(\ln x\right)'={1 \over x},\qquad x\neq 0}
( ln
| x |
) ′ =
1
x
{\displaystyle \left(\ln |x|\right)'={1 \over x}}
( x x
) ′ = x x
(
1
+
ln
x
)
{\displaystyle \left(x^{x}\right)'=x^{x}(1+\ln x)}
شرح مبسط
فيما يلي سرد بمشتقات بعضٍ من الدوال الرياضية.
على اعتبار
f
f
و
g
{\displaystyle g}
دالتين قابلتين للاشتقاق، من أعداد حقيقية، و
c
c
عدد حقيقي ثابت. وهذه الصيغ تكفي لاشتقاق أي دالة أساسية.[1][2]
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا