تم النشر اليوم 2023-12-05 | مرونة خطية

الصيغة الرياضية

المرونة الخطية تقوم على أساس ثلاث معادلات تنسور تفاضلية جزئية لتوازن الزخم الخطي وست علاقات للانفعال - الإزاحة المتناهية الصغر. وإضافة إلى مجموعة المعادلات التفاضلية هناك مجموعة العلاقات الأساسية الجبرية الخطية. نموذج التنسور المباشر
في هذا النموذج والذي يكون مستقلا عن عملية اختيار الإحداثيات تكون المعادلات هي: معادلة الحركة، والتي تعبر عن قانون نيوتن الثاني: ∇ ⋅ σ + F =
ρ

u ¨ {displaystyle {oldsymbol { abla }}cdot {oldsymbol {sigma }}+mathbf {F} = ho ~{ddot {mathbf {u} }}}
معادلات الانفعال - الإزاحة: ε = 1
2
[
∇
u +
( ∇
u
) T ] {displaystyle {oldsymbol {varepsilon }}={ frac {1}{2}}left[{oldsymbol { abla }}mathbf {u} +({oldsymbol { abla }}mathbf {u} )^{T} ight],!}
المعادلات الأساسية.يمثل قانون هوك سلوك المادة ويربط بين مجاهيل الإجهاد والانفعال. والمعادلة العامة لقانون هوك هي: σ =
C
: ε {displaystyle {oldsymbol {sigma }}={mathsf {C}}:{oldsymbol {varepsilon }},!}
حيث:
σ {displaystyle {oldsymbol {sigma }}} هو موتر الإجهاد لكوشي، ε {displaystyle {oldsymbol {varepsilon }}} هو تنسور الانفعال متناهي الصغر (infinitesimal strain tensor), u {displaystyle mathbf {u} } هو متجه الإزاحة
C
{displaystyle {mathsf {C}}} هو تنسور صلابة المادة (stiffness tensor), F {displaystyle mathbf {F} } هو قوة الجسم لكل وحدة حجم،
ρ
ho هو الكثافة أو الكتلة الحجمية (mass density), ∇ ⋅
(
∙
)
{displaystyle {oldsymbol { abla }}cdot (ullet )} هو معيار الانحراف(divergence operator), ∇ (
∙
)
{displaystyle {oldsymbol { abla }}(ullet )} يمثل معيار الميل و (
∙ ) T
{displaystyle (ullet )^{T}} يمثل النقل، ∙
¨ {displaystyle {ddot {ullet }}} يمثل المشتقة الثانية بالنسبة للوقت (أي التسارع).
نموذج الاحداثيات الديكارتي
المعادلات هي: معادلة الحركة: σ j
i
,
j
+ F i
=
ρ ∂ t
t u i
{displaystyle sigma _{ji,j}+F_{i}= ho partial _{tt}u_{i},!}
معادلات الانفعال - الإزاحة: ε i
j
=
1
2
( u j
,
i
+ u i
,
j
)
{displaystyle varepsilon _{ij}={frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j}),!}
المعادلات الأساسية.و هذه المعادلة من قانون هوك: σ i
j
= C i
j
k
l
ε k
l
{displaystyle sigma _{ij}=C_{ijkl},varepsilon _{kl},!}
حيث:
σ i
j
= σ j
i
{displaystyle sigma _{ij}=sigma _{ji},!} هو تنسور كوشي للإجهاد (Cauchy stress tensor), F i
{displaystyle F_{i},!} هي قوة الجسم، * ρ
{displaystyle ho ,!} هي الكثافة أو الكتلة الحجمية (mass density), u i
{displaystyle u_{i},!} الإزاحة، *
C i
j
k
l
{displaystyle C_{ijkl},!} هو تنسور الصلابة (stiffness tensor)، * λ
,
μ
,
ν
,
{displaystyle lambda ,mu , u ,,!} و E
{displaystyle E,!} هي ثوابت للمادة، *
ε i
j
= ε j
i
{displaystyle varepsilon _{ij}=varepsilon _{ji},!} هو الانفعال، *
∂ t
{displaystyle partial _{t},!} هي ∂ / ∂
t
{displaystyle partial /partial t,!} .

وسائل الخواص الموحدة المتجانسة

من وسائل الخواص الموحدة ان تنسور مرن يعطينا العلاقة بين الضغوط (الناتجة من الضغوط الداخلية) والسلاسل المتكونة (التشوهات).و في الخواص الموحدة للوسط (أي هواء أو ماء الوسيط المادي) فنجد ان التنسور المرن لا يكون أي علاقة مباشرة فمثلا عند اعطائها القوة سوف لن تكون بنفس التوجه (بالنسبة لاتجاه القوة).و في حالة الخواص الموحدة فان التنسور المرن:
C i
j
k
l
=
K
δ i
j
δ k
l
+
μ ( δ i
k δ j
l
+ δ i
l δ j
k
− 2
3
δ i
j
δ k
l
) {displaystyle C_{ijkl}=K,delta _{ij},delta _{kl}+mu ,(delta _{ik}delta _{jl}+delta _{il}delta _{jk}- extstyle {frac {2}{3}},delta _{ij},delta _{kl}),!}
حيث K (فقدان المقدرة) و μ
{displaystyle mu ,!} (الجمود) وهما ثابتان ويطلق عليهما معاملا المرونة، إذا كان الوسط متجانس تام، فإن معاملات المرونة (K و μ
{displaystyle mu ,!} ) لن تكون مهمة للوسيط أي ان كل منهما بمقدار وحدة واحدة. المعادلة الأساسة هي:
σ i
j
=
K δ i
j ε k
k
+
2
μ
( ε i
j
− 1
3 δ i
j ε k
k
) {displaystyle sigma _{ij}=Kdelta _{ij}varepsilon _{kk}+2mu (varepsilon _{ij}- extstyle {frac {1}{3}}delta _{ij}varepsilon _{kk}),!}
و يقسم هذا التعبير الرياضي إلى قسمين الايسر الذي يرافق ضغط معين، والأيمن المرافق لقوة شد معينة.و بعبارة ابسط:
σ i
j
=
λ δ i
j ε k
k
+
2
μ ε i
j
{displaystyle sigma _{ij}=lambda delta _{ij}varepsilon _{kk}+2mu varepsilon _{ij},!}
حيث λ هي المعيار الأول أو الباروميتر الأول.
لكن المعادلة التأسيسية هي معادلة خطية.و يمكن ان تكون بشكل أكثر عمومية كالتالي:
ε i
j
=
1 9
K
δ i
j σ k
k
+
1 2
μ
(
σ i
j
− 1
3 δ i
j σ k
k
) {displaystyle varepsilon _{ij}={frac {1}{9K}}delta _{ij}sigma _{kk}+{frac {1}{2mu }}left(sigma _{ij}- extstyle {frac {1}{3}}delta _{ij}sigma _{kk} ight),!}
و هو كما ذكرنا سابقا بأن الشق الأيمن يعبر عن قوة الشد والايسر عن الضغط.و بمعادلة ابسط:
ε i
j
=
1 2
μ
σ i
j
−
ν
E δ i
j σ k
k
=
1
E
[
(
1
+
ν
) σ i
j
−
ν δ i
j σ {displaystyle varepsilon _{ij}={frac {1}{2mu }}sigma _{ij}-{frac { u }{E}}delta _{ij}sigma _{kk}={frac {1}{E}}[(1+ u )sigma _{ij}- u delta _{ij}sigma _{,}!}
حيث ν نسبة بواسون، و E معامل يونغ. الالستوستاتيك
هي دراسة للمرونة الخطية في حالة التوازن، حيث ان محصلة القوى على جسم مرن تكون صفر، والإزاحة هنا ليست دالة الوقت. ومعادلة التوازن هي:
σ i
j
,
j
+ F i
=
0
{displaystyle sigma _{ij,j}+F_{i}=0,!}
صيغة الإزاحة
ان الازاحات معروفة في كل مكان على حدود الجسم. وفي هذا السياق فان الإجهاد والانفعال لن تكون مجهولة حسب قانون هوك، كما هو مبين في المعادلة التالية:
σ i
j =
λ δ i
j ε k
k
+
2
μ ε i
j
=
λ δ i
j u k
,
k
+
μ (
u i
,
j
+ u j
,
i ) {displaystyle {egin{aligned}sigma _{ij}&=lambda delta _{ij}varepsilon _{kk}+2mu varepsilon _{ij}\&=lambda delta _{ij}u_{k,k}+mu left(u_{i,j}+u_{j,i} ight)\end{aligned}},!}
اختلاف التوسعات (Differentiating yields): σ i
j
,
j
=
λ u k
,
k
i
+
μ (
u i
,
j
j
+ u j
,
i
j ) {displaystyle sigma _{ij,j}=lambda u_{k,ki}+mu left(u_{i,jj}+u_{j,ij} ight),!}
استبدال معادلة التوازن بالتوسعات:
λ u k
,
k
i
+
μ (
u i
,
j
j
+ u j
,
i
j ) + F i
=
0
{displaystyle lambda u_{k,ki}+mu left(u_{i,jj}+u_{j,ij} ight)+F_{i}=0,!}
أو μ u i
,
j
j
+
(
μ
+
λ
) u j
,
i
j
+ F i
=
0
{displaystyle mu u_{i,jj}+(mu +lambda )u_{j,ij}+F_{i}=0,!}
حيث λ
{displaystyle lambda ,!} و μ
{displaystyle mu ,!} معايير عوجاء (Lamé parameter). المعادلة التوافقية الثنائية
يمكن كتابة معادلة التوازن بالشكل التالي: ( α 2
− β 2
) u j
,
i
j
+ β 2 u i
,
m
m
=
− F i
{displaystyle (alpha ^{2}-eta ^{2})u_{j,ij}+eta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i},!}
و إذا فرضنا ان القوة تساوي صفر (
F i
,
i
=
0
{displaystyle F_{i,i}=0,!} ), فستتكون لنا المعادلة التالية: ( α 2
− β 2
) u j
,
i
i
j
+ β 2 u i
,
i
m
m
=
0
{displaystyle (alpha ^{2}-eta ^{2})u_{j,iij}+eta ^{2}u_{i,imm}=0,!}
و إذا بسطنا المعادلة السابقة:
α 2 u j
,
i
i
j
=
0
{displaystyle alpha ^{2}u_{j,iij}=0,!}
حيث نستنتج ان:
u j
,
i
i
j
=
0
{displaystyle u_{j,iij}=0,!}
صيغة الضغط ε i
j
,
k
m
+ ε k
m
,
i
j
− ε i
k
,
j
m
− ε j
m
,
i
k
=
0
{displaystyle varepsilon _{ij,km}+varepsilon _{km,ij}-varepsilon _{ik,jm}-varepsilon _{jm,ik}=0,!}
حلول للحالات المرنة
نقطة القوة في الداخل لا نهائية في الخواص الموحدة.
اتصال جسمين مرنين معا يكون تمغنط.

شرح مبسط

مرونة خطية (Linear elasticity) هي دراسة رياضية لكيفية تشوه (Deform) الأجسام الصلبة وتعرضها لاجهادات داخلية (Internally Stressed) نتيجة حمولات معينة. تعتمد المرونة الخطية على الفرضية الاستمرارية (Continuum Hypothesis) وتطبق عيانياً أو مجهرياً(بعض الأحيان).و المرونة الخطية هي تبسيط للنظرية الأكثر عموماً وهي نظرية المرونة الغير خطية (Nonlinear Theory of Elasticity) وهي فرع من الميكانيكا الاستمرارية (Continuum Mechanics).