[ تعرٌف على ] دالة الكثافة الاحتمالية
تم النشر اليوم [dadate] | دالة الكثافة الاحتمالية
دوال كثافة احتمالية مهمة
التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغيّر العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة
[ a
,
b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة
[ a
,
b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة
[ a
,
b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} ، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة
[ a
,
b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} ، أي:
f (
x
) =
{ 1 b
−
a
a
≤
x
≤
b
0
x
<
a
,
x
>
b
{\displaystyle f\left(x\right)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}\quad a\leq x\leq b\\0\quad \quad xb\end{cases}}}
بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أو الغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:
f (
x
) =
1 2
π
e − x 2
2
{\displaystyle f\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}
هذا في حالة كون المتغيّر عشوائي تابعا لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقعة مساوية لـ- μ
\mu والتباين مساويًا لـ-
σ 2
{\displaystyle \sigma ^{2}} تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:
f (
x
) =
1 2
π σ 2
e −
( x
−
μ )
2 2 σ 2 {\displaystyle f\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
توزيعات مستمرة بمتغير واحد
تكون للمتغير العشوائي {\displaystyle X} دالة كثافة احتمالية f (
) {\displaystyle f\left(X\right)} ، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق: P [ a
≤
≤
b ] = ∫ a
b
f (
x
) d
x
{\displaystyle P\left[a\leq X\leq b\right]=\int _{a}^{b}f\left(x\right)dx}
أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير {\displaystyle X} قيمًا في الفترة
[ a
,
b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت F
F هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير {\displaystyle X} ، يتحقق: ,
F (
x
) = ∫ −
∞
x
f (
u
) d
u
{\displaystyle ,F\left(x\right)=\int _{-\infty }^{x}f\left(u\right)du}
وكذلك، فإنّ: f (
x
) =
d d
x F (
x
) {\displaystyle f\left(x\right)={\frac {d}{dx}}F\left(x\right)}
من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة f (
x
) {\displaystyle f\left(x\right)} ، عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي
[ x
,
x
+
d
x ] {\displaystyle \left[x,x+dx\right]} هو f (
x
) d
x
{\displaystyle f\left(x\right)dx} .
استعمالات
حساب القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي ما يتم وفق المعادلة التالية:
E [
] = ∫ −
∞
+
∞
x
f (
x
) d
x
{\displaystyle E\left[X\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf\left(x\right)dx}
أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.
شرح مبسط
في نظرية الاحتمالات، دالة الكثافة الاحتمالية (د.[1] ك.ا)
(بالإنجليزية: probability density function) أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد: