[ رياضيات ] بحث عن المثلثات المتطابقة .. 7 معلومات رياضية عن المثلث وخصائصه وأنواعه ومساحته

تم النشر اليوم 11-12-2025 | [ رياضيات ] بحث عن المثلثات المتطابقة .. 7 معلومات رياضية عن المثلث وخصائصه وأنواعه ومساحته
تم النشر اليوم [dadate] | بحث عن المثلثات المتطابقة .. 7 معلومات رياضية عن المثلث وخصائصه وأنواعه ومساحته

قوانين أخرى تتعلق بالمثلثات

الشكل الهندسي للمثلث به العديد من التفاصيل الرياضية الهامة، والتي يعرفها علماء الهندسة والرياضيات، الذين وضعوا العديد من القوانين لمعرفة المساحة والمحيط كما تعرفنا في النقاط السابقة، ومع هذه القوانين، فهناك العديد من القوانين التي تتعلق بالمثلث بشكل عام، وهذا ما نتعرف عليه خلال النقاط التالية: في حالة إذا كنا نريد معرفة طول الأضلاع للمثلث أ، ب، ج وقياس الزوايا نتعرف عليها من خلال قانون الجيب: أ÷جا(أَ)=ب÷جا(بَ)= ج÷جا(جَ)، بحيث يكون الرمز أ طول الضلع الأول للشكل، والزاوية المقابلة للضلع أ، وب: طول الضلع الثاني للمثلث أما بَ هي الزاوية المقابلة للضلع ب. أما ج هي طول الضلع الثالث للمثلث، ج َ هي الزاوية المقابلة للضلع ج. وهناك قانون جيب التمام وهو على الصيغ الثلاث التالية: أ²=ب²+ج²-2×ب×ج×جتا(أَ) ب²=أ²+ج²-2×أج×جتا(بَ) ج²=ب²+أ²-2×ب×أ×جتا(جَ) بحيث يكون الرموز بالتالي أ: طول الضلع الأول للمثلث، اَ الزاوية المقابلة للضلع أ، ب: طول الضلع الثاني للمثلث، بَ الزاوية المقابلة للضلع ب، ج: طول الضلع الثالث للمثلث، ج َ الزاوية المقابلة للضلع ج. وبعد أن تعرفنا على هذه القوانين الكثيرة التي تتعلق بالمثلث بحيث نتعرف على المساحة والحيط وغيرها مما يتعلق بالشكل الهندسي، نتعرف بمزيد من الفهم على الأمثلة المتنوعة التي نتعرف خلالها على التطبيق العملي لهذه التفاصيل الهندسية وهذه من خلال الأمثلة التي نتعرف عليها من خلال السطور القليلة القادمة.

أمثلة متنوعة عن قوانين المثلثات

في هذه النقطة المتبقية من هذا العرض الشامل عن الشكل الهندسي للمثلث، سنتعرف على بعض الأمثلة المتنوعة لمعرفة التطبيقات العملية للقوانين التي تعرفنا عليها في النقاط السابقة، فهيا بنا نتعرف على هذه الأمثلة من خلال هذه النقاط التالية: المثال الأول إذا كان المثلث أ ب ج مثلث قائم الدرجة في القياس في ج وإذا كانت د نقطة على الوتر أ ب وكانت جد تتعامد على أب، أما قياس الزاوية حادة تساوي 65 درجة، فما هي قياس كل من الزاوية أج د، أب ج؟ حل هذه المسألة من خلال النقاط التالية: مجموع زوايا المثلث = 180 ومنه يمكن حسابها من خلال: ج+∠د أج+∠أج د=180، 90+65+∠أج د=180، ومنه ∠أج د=°25. أج يعامد أج وبالتالي فإن الزاوية أج = 90 درجة وبالتالي تساوي ∠ب ج د+∠أج د وبالتالي فإن ∠ب ج د+∠25=90، ومنه ∠ب ج د=°65. وبالتالي فإن مجموع زوايا المثلث = 180 ومنه ∠ج ب د+∠ب دج+∠ ب ج د=180. وهنا يتم حساب ∠ج ب د=°25 والزاويتان ∠أب ج=∠ج ب د=°25 المثال الثاني مثلثين أطوال أضلاع الأول هي: 5، 11 ، 12 سم أما أطوال أضلاع الثاني هي 4، 3 ، 5 سم هل هما مثلثا قائم الزاوية؟ حل هذه المسألة في النقاط التالية: نقوم بتعويض قيمة أطوال أضلاع المثلث الأول من خلال قانون فيثاغورس= أ²+ ب²= ج² وبالتالي فإن (5)²+(11)² ثم نقوم بحساب قيمة الطرف الأيمن 25 + 122 = 147. ويتم حساب قيمة الطرف الأيسر وهو (12)²=144 وبالتالي فإن 147≠144 وهذا يعني ان طرفي المعادلة غير متساوية والمثلث الأول ليس قائم الزاوية. أما تعويض قيمة أضلاع المثلث الثاني في المعادلة الناتجة عن قانون فيثاغورس فهي أ²+ ب²= ج²، (4)²+(3)²، أما عن تعويض قيمة أطوال أضلاع المثلث المقابل من خلال معادلة فيثاغورس هي 16+ 9= 25 أما الطرف الثاني فهو (5)²=25 وبالتالي فإن طرفي المعادلة متساوية هي المثلث الثاني قائم الزاوية. المثال الثالث في حالة إذا كان مثلث طول قاعدته حوالي 12 سم والمساحة 42 سم2 فما هو ارتفاع المثلث؟ يمكن معرفة ارتفاع المثلث من خلال التعويض في قانون مساحة المثلث وينتج عنه مساحة المثلث = ½× القاعدة × الارتفاع، وبالتالي فإننا يمكن حسابه من خلال 42= ½ ×12× الارتفاع = 7 سم. المثال الرابع مثلث متساوى الساقين، فإذا كان طول أحد الساقين 6 سم وقياس الزاوية هي 36.4 درجة فما هو قياس زاوية القاعدة؟ الحل: إذا كان المثلث متساوي الساقين فإن زوايا القاعدة متساوية القياس، وبالتالي فإن قياس إحدى الزوايا للقاعدة يرمز بالرمز س وبالتالي فإن مجموع الزوايا = 180 من خلال المعادلة الحسابية التالية: 2س+36.4=180 وبالتالي فإن س= (180-36.4)÷2=° 71.8. المثال الخامس مثلثان متشابهان في أطوال الأضلاع، فإذا كان المثلث الأول طول أضلاعه حوالي 52.3، س، 23.5 سم أما أطوال أضلاع المثلث الثاني هو ص: 8.6، 7.3 سم فما هي أطوال الأضلاع المجهولة للمثلثين؟ الحل: في حالة إذا كانت المثلثين متشابهين بين أطوال أضلاعهما، فإن النسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (23.5/7.3)= 3.22 أما حساب طول الضلع ص بالتعويض بين النسبة بين أطوال الأضلاع: (52.3/ص)= 3.22 وبالتالي فإن ص = 16.2 سم، أما حساب طول الضلع س يتم من خلال التعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (س/8.6) = 3.22، وبالتالي فإن قيمة س= 27.7 سم. المثال السادس مثلث يتساوى في الأضلاع ( متساوي الساقين) طول الساق هو 5 سم، اما طول نصف القاعدة 4 سم، فما هو محيط المثلث؟ الحل: يتم معرفة محيط المثلث من خلال المعادلة التالية: بما إن المثلث متساوي الساقين، فإن ضلع كل منهما يساوي 5 سم، وطول القاعدة = 2 × 4 = 8 سم. وبالتالي تعويض أطوال الأضلاع للمثلث من خلال صيغة قانون محيط المثلث = ح=أ+ب+ج وبالتالي فإن محيط المثلث = 5 + 5 + 8 = 18 سم. المثال السابع في حالة إذا كنا نريد معرفة قياس زاوية الرأس في مثلث متساوي الساقين، وإذا كان قياس زاوية القاعدة في هذا المثلث أكثر بحوالي 10 مرات من ضعفي زاوية الرأي فما هي قياس درجة زاوية الرأس؟ الحل: في البداية نقوم بافتراض الرمز س لقياس زاوية الرأس وبالتالي فإن الحل لقياس زاوية القاعدة= 2 س + 10. أما مجموع زوايا المثلث = 180 وبالتالي فإن الصيغة الحسابية التالية هي زاوية الرأس + زاوية القاعدة + زاوية القعدة = 180 وهي بصيغة الرموز س+(2س+10)+ (2س+10)=180 وبالتالي فإن قياس زاوية الرأس أو س= 32 درجة. المثال الثامن إذا كانت مسافة بعد طائرة في الجو عن وجهتها حوالي 8 ميل غرباً و 15 ميل غرباً من ناحية الجنوب عن الوجهة التي ستهبط فيها، فما هي المسافة التي يمكن أن تبعدها الطائرة عن هذه الوجهة؟ الحل: يمكن الاستفادة من القوانين للأشكال الهندسية في الحل من خلال تشكيل المسافة بين الطائرة وبين وجهتها لمثلث قائم الزاوية، والوصول إلى الجهة التي تهبط بها الطائرة، فإن المسافة المستقيمة التي يجب ان تقوم الطائرة بالوصول إليها عبارة عن قطع وتر هذا المثلث، وبالتالي تشكيل الضلع الأول عن الوجهة من ناحية الجهة الغربية، وبالتالي فإن الضلع الثاني هو بعد الطائرة عن الوجهة من الجهة الجنوبية وبالتالي التعويض في معادلة فيثاغورس. أما من حيث قانون فيثاغورس بالصيغة التالي: أ²+ ب²= ج² فإن طول الوتر الذي يتم الرمز ج له هو بالصيغة الحسابية التالية: (8)²+(15)²= ج² وبالتالي فإن ج = 17 ميل وهي بعد الطائرة ومسافة البعد عن الوجهة والمطار التي ستهبط فيها بعد الوصول. المثال التاسع إذا كان مثلث قاعدته حوالي 5 سم، والارتفاع 10 سم فما هي مساحة المثلث؟ الحل: يتم حساب المثلث من خلال التعويض من خلال قانون مساحة المثلث وهو: م=½× القاعدة × الارتفاع، وبالتالي فإن مساحة المثلث هي ½ × 5 ×10= 25 سم2. وبعد أن تعرفت عزيزي القارىء على هذه الأمثلة، فإنه يمكنك أن تتخيل التطبيقات العملية الهندسية في حياتنا اليومية من خلال قوانين معرفة مساحة شكل المثلث وغيرها. بعد أن انتهينا من العرض الشامل لبحث عن المثلثات المتطابقة والمتشابهة وخصائصها وأنواعها، فإن المثلث يعتبر من أهم الأشكال الهندسية التي يمكننا الاستفادة منها من الناحية العملية، فهل استفدت من هذا العرض الشامل؟

أنواع المثلث

شكل المثلث له العديد من الأنواع، وهناك ثلاثة أنواع لشكل المثلث الهندسي، وهذه الأنواع يمكن تصنيفها لحسن طول الأضلاع أو حسب درجات الزوايا، وسنتعرف في البداية على أنواع المثلثات حسب طول الأضلاع في النقاط التالية: مثلث متساوي الأضلاع: وهذا المثلث له 3 أضلاع متساوية في الطول وثلاثة زوايا متساوية لها قياس لدرجة 60 درجة.مثلث متساوي الساقين: وهو النوع الثاني من المثلثات وهو عبارة عن مثلث له ضلعين متساويين في الطول وله زاويتين متساويتين في القياس هما زاويتا القاعدة.مثلث مختلف الأضلاع: وهو المثلث الذي ليس لديه أضلاع متساوية في الطول أو زوايا متساوية في القياس. أما تصنيف أنواع المثلثات حسب درجة قياس الزوايا في المثلث فهي يمكن تصنيفها للأنواع التالية: مثلث حاد الزوايا: وهو المثلث الذي يوجد قياس الزوايا أقل من 90 درجة.مثلث قائم الزوايا: وهو المثلث الذي يمتلك زوايا درجة قياسها حوالي 90 درجة ولا يزيد عن ذلك، وهذا الشكل القائم له العديد من الأشكال حسب الأضلاع حيث يختلف من حيث القاعدة أو الضلعين الآخرين، فهو مختلف الشكل ولكن في النهاية نجد أن درجة الزوايا لهذا المثلث 90 درجة لا يقل عن هذا او لا يزيد.مثلث منفرج الزاوية: وهذا الشكل للمثلث الذي يزيد عدد الزوايا الثلاثة به في درجة القياس عن 90 درجة، وله العديد من الأشكال أيضاً في الرسم الهندسي للأضلاع. وهناك العديد من الملاحظات الهامة في أنواع المثلثات يجب الإشارة لها، منها على سبيل المثال أن المثلث يمكن أن يكون قائم الزاوية ومتساوي في الساقين في نفس الوقت وذلك لأنه يمتلك زاوية قائمة و ضلعين متساويين في الطول. كما يمكن أن يطلق على أضلاع المثلث قائم الزاوية بعض الأسماء، مثل أن يكون اسمع الوتر أما الضلعين لهذا المثلث يسما الساقين: وهناك نظرية فيثاغورس الشهيرة التي تعمل على إيجاد أطوال أضلاع المثلث من النوع قائم الزوايا حيث يساوي مربع الوتر لمجموع مربعي الضلعين الآخرين ويعبر عن هذه النظرية بقانون معين وضعه علماء الرياضيات وهذا القانون هو: (الوتر)² = (الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)². كما يجب ملاحظة أن الارتفاع في المثلث القائم في الزوايا هو أحد الضلعين المتعامدين على الضلع الآخر وذلك في حالة إذا تم اعتبار أحدهما هو ارتفاع الضلع الآخر العمودي عليه هو القاعدة لذلك المثلث.

تطابق المثلثات وتشابهها

وبعد أن تعرفنا على أهم أنواع المثلثات وأشكالها حسب أطوال الأضلاع أو حسب الزوايا و درجات القياس، فهل يمكن تتطابق وتشابه المثلثات؟ بالفعل يمكن تطابق و تشابه المثلثات من خلال العديد من النقاط والملاحظات التي يجب معرفتها والتي تجعلنا نفهم ما إذا كانت هذه المثلثات يمكن أن تتطابق أم لا، وذلك من خلال النقاط التالية: تطابق المثلثات وهذا يتم من خلال تطابق المثلثات حيث يكون لهما نفس الشكل ونفس الحجم ويمكن أن يكون لهم نفس الزوايا وهناك العديد من الشروط لهذا التطابق، وبقبل أن نتعرف عليها، فإن علماء الرياضيات رمزوا لهذا التطابق بالرمز (≅) أما التطابق فلابد أن تتوافر فيه العديد من الشروط كما قلنا وأهمها مثلاً: تساوي أطوال أضلاع المثلثين: يمكن أن يتطابق المثلثان عندما يتساوى أطوال أضلاع المثلثين مع طول الأضلاع في المثلث الآخر، في الثلاثة أضلاع المكوّنة لكل شكل على حدة.تساوي طول الضلعين وقياس الزاوية بينهما: يمكن تطابق المثلثين أيضاً في حالة إذا كان المثلثين لهما نفس طول الضلعين في المثلث الأول وكذلك في المثلث الثاني، وتكون الزاوية المحصورة بينهما بين الضلعين في كلا المثلثين متساوية بمقدار ضلع – زاوية – ضلع وذلك في الشكلين المتطابقين سواء المثلث الأول والثاني.تساوي قياس زاويتين وطول الضلع بينهما: يمكن أن يتطابق المثلثان في حالة إذا كان هناك تساوي زاويتين وضلع مشترك بينهما من المثلث الأول من الزاويتين و ضلع من المثلث الآخر، بحيث يكون زاويتين وضلع من المثلث الآخر أي زاوية – ضلع – زاوية.تساوي طول وتر المثلث مع أحد الأضلاع: وذلك من خلال تساوي طول الوتر في المثلث قائم الزاوية مع أحد الأضلاع مع طول الوتر للمثلث المقابل الآخر الذي قد يكون قائم الزاوية ويكون أحد أضلاعه يكون المثلثان متطابقان. تشابه المثلثات هناك حالات أخرى نجد فيها المثلثات متشابها، بحيث يكون لهما نفس قياس الزوايا ولكنهما مختلفان من حيث الحجم وقد تكون أضلاعهما متناسبة، والتشابه في المثلثات رمز لها علماء الرياضيات بالرمز (∽) ووضعوا له شروط ثلاثة وهي: تناسب جميع الأضلاع في المثلثين: يمكن أن يتشابه المثلثان من خلال تناسب جميع أضلاع كل من المثلث الأول مع المثلث الآخر، بحيث يكون التساوي بين الأضلاع الثلاثة.تساوي ضلعين والزاوية المحصورة بينهما: تشابه المثلثين بحيث تكون قياس زاوية من مثلث مع قياس زاوية من المثلث الآخر وتتناسب أطوال الضلعين اللذين يحصران هذه الزاوية بحيث تكون التناسب ضلع – زاوية – ضلع.تطابق زوايا المثلث: يتشابه المثلثان في حالة إذا تساوى قياس درجات الزوايا في المثلثين معاً بحيث يكون التناسب : زاوية – زاوية. وبعد أن تعرفنا على العديد من الحالات التي يمكن أن تتطابق أو تتشابه فيها أشكال المثلثات، هل يمكن أن يكون هذا التطابق او التشابه في مساحة المثلث؟ أم أن الأمر يتعلق بالعديد من القوانين التي يمكن معرفتها لحساب مساحة كل المثلثات على حدة؟ هذا ما نتعرف عليه بعد قليل.

ما هي مساحة المثلث ومحيطه؟

يمكن معرفة مساحة المثلث على أنها مقدار الفراغ المحصور داخل المثلث من خلال العديد من الطرق منها حساب المساحة باستخدام أطوال الأضلاع وهي مساوية لنصف طول قاعدة المثلث مضروب في الارتفاع، ويمكن معرفة المساحة من خلال العديد من القوانين: القانون الأول لمعرفة مساحة المثلث: مساحة المثلث = ½×طول القاعدة × الارتفاع ويمكن رمز هذا القانون بالرموز التالية: م=½×ق×ع بحيث يكون ق = طول قاعدة المثلث أما ع = ارتفاع المثلث. القانون الثاني لمعرفة مساحة و محيط المثلث من خلال صيغة هيرون، وهي صيغة القانون التالي مساحة المثلث= (س× (س-أ) × (س-ب) × (س-ج)) √ أما من حيث الرموز فإن س= نصف محيط المثلث، س= ½×(أ+ب+ج) أ = طول الضلع الأول من المثلث. ب= طول الضلع الثاني. ج= طول الضلع الثالث. القانون الثالث: مساحة المثلث = ½× أ × ج × جاب. أما الرمز فإن أ= طول قاعدة المثلث. ج = طول ضلع المثلث. الزاوية ب= الزاوية المحصورة بين الضلعين أ، ج. وهذه القوانين السابقة نتعرف على مساحة المثل، وهي تختلف عن حساب محيط شكل المثل، حيث يمكن من خلال صيغة قانون محيط المثلث التالية نتعرف على المحيط، وهذا هو القانون: محيط المثلث=الضلع الأول + الضلع الثاني + الضلع الثالث. أما من حيث الرموز فهي: ح=أ+ب+ج. بحيث يكون أ = طول الضلع الأول، ب= طول الضلع الثاني، ج= طول الضلع الثالث. ومن خلال القانون السابق يمكن بسهولة معرفة محيط المثلث من خلال حساب مجموع الأضلاع الثلاثة، وهناك العديد من الأمثلة الرياضية على ذلك.

ما هو المثلث؟

المثلث شكل هندسي يتكوّن من ثلاثة أضلاع غير متساوية في الغالب، وهو شكل مغلق ثلاثي الأبعاد وثلاثي الأضلاع ويتكون من ثلاث قطع متساوية مكوّنة ثلاثة زوايا غير متشابهة في الدرجات، وقد تكون اثنين منها متشابهة غير الثالثة وقد تكون مختلفة. أما مجموع قياس الزوايا الثلاث 180 درجة في المجموع النهائي للزوايا، ودائماً ما يقابل أقصر ضلع من المثلث أصغر في الدرجة من الزوايا الأخرى. أما مكوّنات المثلث فهي الرأس وهي زاوية المثلث ويمتلك كل مثلث ثلاثة رؤوس، والقاعدة والتي قد يكون ضلعها هو الأطول وفي العادة يكون في أسفل الشكل وغير متساوي مع الضلعين الآخرين وتستخدم القاعدة في حساب مساحة المثلث. أما متوسط المثلث فهو الخط الممتد من الرأس في المثلث إلى منتصف الضلع المقابل له، أما النقطة المركزية للمثلث تتقاطع في نقطة واحدة، أما الارتفاع للمثلث فهو عبارة عن العمود الممتد من القاعدة إلى راس المثلث المقابل لها، وهناك ثلاثة قواعد محتملة للمثلث فإن هناك ثلاثة ارتفاعات محتملة له أيضاً وهي تتقاطع في نقطة تسمى ملتقى الارتفاعات أو المركز القائم.

بحث عن المثلثات المتطابقة

يعد المثلث من أهم أنواع الأشكال الهندسية على الإطلاق، وذلك بسبب التطبيقات الهندسية الحياتية التي يمكن الاستفادة منها في عالم الهندسة والرياضيات، والنظريات الهندسية المتنوّعة، في هذا المقال نتحدث بالتفصيل من خلال بحث عن المثلثات المتطابقة عن المثلث وأنواعه وخصائصه، وكذلك مساحته وغيرها من المعلومات الرياضية المبسطة عن شكل المثلث، فهيا بنا نتعرف على هذه المعلومات بالتفصيل من خلال العرض الشامل في السطور التالية.

ما هي خصائص المثلث؟

المثلث شكل هندسي له العديد من الخصائص، ومن خصائص المثلث مثلاً هو أن أحد أضلاع المثلث إذا كان مستقيماً فإنه يقسم المثلث إلى مثلثات متشابهة ومتناسبة في الطول، أما مجموع أطوال الضلعين من المثلث أكبر من طول الضلع الثالث دائماً وبالمثل فإن الفرق بين أطوال الضلعين أقل من طول الضلع الثالث في الغالب. أما الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزوايا الخارجية للمثلث ويكون درجته 360 درجة. أما الارتفاع للمثلث فإنه يقسم المثلث متساوي الساقين والمثلث المتساوي في الأضلاع نجد القاعدة تنقسم إلى نصفين متساويين كما يمكن تقسيم المثلث إلى مثلثين يتساوى في درجة الزوايا وفي الأضلاع وطولها.