جبر خطي

بشكل رسمي، جداء داخلي هو تطبيق

• التماثل المرافق:
• لاحظ أن هاته النقطة صحيحة عندما يكون F هو مجموعة الأعداد الحقيقية R.
• الخطية لدى المدخل الأول:
• كونها موجبة عند تساوي المدخلين:
• مع تحقق التساوي فقط حين يساوي v صفرا.
• تطبيقات

ومن جهة أخرى، يحقق الموضوعات الثلاثة الآتية بالنسبة إلى كل ثلاث متجهات u و v و w في V وبالنسبة إلى كل عدد a من F:

التحويلات الخطية

• يقال عن تحويل أنه تحويل خطي إذا كان يستوفي الشرطين الآتيين :
• لكل متجهين v و u في
• نظرية المصفوفات
• الفضاءات المعرف عليها جداء داخلي

مقدمة

وفي السياق ذاته، تمدد الجبر الخطي الحديث ليأخذ في الاعتبار فضاءات ذات أبعاد لا نهائية. يمكن دراسة فضاء شعاعي به نون (n) من الأبعاد ويدعى الفضاء النوني. يمكن التوسع في استخدام أغلب النتائج التي نتجت عن دراسة الفضاءات ثنائية وثلاثية الأبعاد بالنسبة للفضاءات الأكثر أبعادًا.

• المتجهات في و.
• جبر المصفوفات.
• المصفوفات المربعة.
• البنى الجبرية.
• الفضاءات والفضاءات الجزئية المتجهية.
• الترابط الخطي، القاعدة، البُعد.
• التطبيقات.
• التطبيقات الخطية.
• فضاءات التطبيقات الخطية.
• المصفوفات والتطبيقات الخطية.
• تغيير القاعدة، والتشابه.
• التعامد والتقطير.
• الحدوديات فوق حقل.
• الأشكال القانونية.
• الداليات الخطية، والفضاء الثنوي.
• الأشكال الخطانية (ثنائية الخطية)والتربيعية والهرميتية.
• المؤثرات الخطية على فضاءات الجداء الداخلي.
• تطبيقات في الهندسة والحسبان.
• انظر كذلك
• لائحة المواضيع المتعلقة بالجبر الخطي
• جبر خطي عددي
• القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

وفي هذا السياق، بدأ الجبر الخطي بدراسة المتجهات في الفضاءات الديكارتية ثنائية وثلاثية الأبعاد. ويمثل المتجه هنا قطعة مستقيمة موجهة تتميز بكلا من طولها (شدتها) واتجاهها. يمكن أن تستعمل المتجهات لتمثيل كميات فيزيائية مثل القوى، كما يمكن أن تطبق عليها عمليات الجمع والطرح والضرب (بأنواعه: الداخلي والخارجي) وبهذا شكلت أول مثال عن الفضاء الشعاعي الحقيقي.

في هذا الإطار، وبالنسبة للفضاء الشعاعي أو الفضاء الخطي مصطلحًا تجريديًا فيمكن صياغة مبرهنات حوله، حيث يمكن اعتباره قسما من الجبر التجريدي حيث ينسجم تماما مع ذلك الفرع من الدراسة. من أمثلة ذلك: زمرة المصفوفات وحلقة الخرائط الخطية للفضاء الشعاعي. ومن أهم ما يُدرس خلاله هو

في هذا الإطار، يصعب غالبا تخيل أشعة نونية البعد لكن مثل هذه الأشعة يمكن اعتبارها مجموعات مرتبة نونية مفيدة في تمثيل البيانات التي يُراد معالجتها في الكثير من العلوم. فالأشعة قائمة عناصر (مكونات) مرتبة، من الممكن تلخيص ومعالجة البيانات بشكل فعال ضمن هذا الأسلوب التجريدي من المعالجات. مثلا في علم الاقتصاد، يمكن للمرء أن يستعمل فضاءات شعاعية ثمانية الأبعاد أي مجموعات مرتبة ثمانية (8-tuples) ليمثل الناتج القومي الأعلى لثمانية بلدان مختلفة. فيمثل الناتج القومي الأعظم لبلدان ثمانية بشكل مجموعة مرتبة مثلا: (v1، v2، v3، v4، v5، v6، v7، v8).

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

وفي السياق ذاته، من أجل ايجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية، يُبتدأ بما يلي:

إضافةً إلى ذلك، إذا كان v متجه غير منعدم وكان Tv يساوي v مضروبة في عدد ما، فإن المستقيم المار من الصفر ومن v هو مجموعة ثابتة تحت التطبيق T (أي أن صورتها بالتطبيق T تبقى ضمنها). في هذه الحالة، يسمى v متجه ذاتي ل T. العدد λ حيث Tv = λv يسمى قيمة ذاتية ل T.

وفي هذا الصدد، حيث Id هي مصفوفة الوحدة. من أجل حل هاته المعادلة، ينبغي حل المعادلة . دالة المحدد هي متعددة حدود. إذن، فإنه من الممكن عدم إيجاد حلول للمعادلة السابقة الذكر إذا كان العدد λ ينتمي إلى المجموعة . ولهذا السبب، تدرس الفضاءات المتجهية عادة في حقول مغلقة جبريا، مجموعة الأعداد العقدية مثالا.

بحيث أن

من جانب آخر، وبسبب استخدامنا لهذا الشكل المصفوفي لوصف الأنظمة الخطية فبالتبعية يمكننا تطبيق نفس الأساليب لحل الأنظمة الخطية ولعمليات أخرى عديدة على المصفوفات والتحويلات الخطية، مثل حساب رتبة المصفوفة وحساب النواة وعكس المصفوفة.

طالع مصفوفة مثلثية.

إضافةً إلى ذلك، لتحويلها لشكل دَرَجِي صفي مخفض (Reduced row echelon form). عمليات الصف هذه لا تغير مجموعة حلول نظام المعادلات. في المثال، شكل الدَرَجْ المختزل هو

علاوةً على ذلك، الحذف الغاوسي يتضمن إجراء عمليات صف أولية على المصفوفة الممتدة

من جهة ثانية، وقيم هي المطلوبة وهي عبارة عن الصورة العكسية لـ في التحويل الخطي

ومن ناحية أخرى، بفرض أن (S′) هو نظام متجانس مرتبط بالنظام أعلاه، بحيث أن قيم الجانب الأيمن من معادلاته هي الصفر:حلول (S′) هي بالضبط عناصر نواة التحويل الخطي أو بالمساواة عناصر نواة المصفوفة

ومنه نرى أن النظام (S) له الحل الفريد التالي

التاريخ

وعلى صعيد آخر، المختصر في حساب الجبر والمقابلة هو كتاب رياضي كتب نحو عام 830 م. ومصطلح الجبر مشتق من اسم إحدى العمليات الأساسية مع المعادلات التي وصفت في هذا الكتاب. ترجم الكتابَ إلى اللاتينية تحت عنوان Liber algebrae et almucabala، روبرت تشستر (سيغوفيا، 1145)، وأيضا ترجمه جيراردو الكريموني. وتوجد نسخة عربية فريدة محفوظة في أوكسفورد ترجمها عام 1831 إف روزين. وتوجد ترجمة لاتينية محفوظة في كامبريج.

مجال الدراسة

علاوةً على ذلك، مؤخرا، وجد عالم الصينيات الأمريكي روجر هارت أن علماء الرياضيات الصينيين وجدوا طريقة مكافئة بشكل أساسي، لحل الأنظمة المكونة من n معادلة والمحتوية على n مجهول في الجبر العصري، ألف سنة قبل الغرب.

وعلى صعيد آخر، ظهرت دراسة المصفوفات لأول مرة في إنجلترا، وكان ذلك في بدايات القرن التاسع عشر. في عام 1848، أبدع جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح Matrix (ماتريكس والتي تترجم إلى اللغة العربية بمصفوفة). مصطلح Matrix يعني باللغة اللاتينية الرّحِم. عندما كان عالم الرياضيات أرثور كايلي يدرس تركيبات التحويلات الخطية، أدى به ذلك إلى تعريف ضرب المصفوفات وإلى تعريف معكوس مصفوفة ما. كما وجد كذلك العلاقة التي تربط المصفوفات بالمحددات. وفي سنة 1882، ألف عالم الرياضيات العثماني حسين توفيق باشا كتابًا سماه «الجبر الخطي».

من جانب آخر، انبثقت دراسة الجبر الخطي لأول مرة من دراسة المحددات، التي كانت تُستعمل في حلحلة نظم المعادلات الخطية. استعملت المحددات من طرف لايبنز في سنة 1693، وفيما بعد، استخلص غابرييل كرامر قاعدة كرامر التي تمكن من حل الأنظمة الخطية. كان ذلك عام 1750. فيما بعد، عمل غاوس في نظرية حلحلة الأنظمة الخطية باستعمال طريقة الحذف الغاوسي، التي نُظر إليها في البداية تطورا في الجيوديسيا.

من جهة ثانية، يعتبر أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي  مؤسس علم الجبر حيث عرض في كتابه حساب الجبر والمقابلة أو الجبر أول حل منهجي للمعادلات الخطية والتربيعية.

وناتِجه بالمتجه التالي

من جانب آخر، بفرض أن هو التحويل الخطي المرتبط بالمصفوفة فإن حل النظام ( S ) هو المتجه

الفضاءات المتجهية

وعلى صعيد آخر، قد تكون عناصر فضاء متجهي عام V كائنات بطبيعات مختلفة. مثلًا، قد تكون دوالا أو متعددات حدود أو متجهات أو مصفوفات. يدرس الجبر الخطي الخصائص المشتركة بين جميع الفضاءات المتجهية.

من جانب آخر، تحقق عمليتا الجمع والضرب في فضاء متجهي ما الموضوعات التالية. فيما يلي، u و v و w ثلاث متجهات من V و a و b عنصران من F.

من جهة ثانية، تعتبر الفضاءات المتجهية من بين أهم البنى اللائي يدرسهن الجبر الخطي. فضاء متجهي على حقل ما يرمز إليه ب F هو مجموعة V أُضيفت إليها عمليتان ثنائيتان اثنتان. تسمى عناصر V متجهات وقد تسمى عناصر F قياسات. العملية الأولى هي جمع المتجهات. تأخذ هاته العملية مدخلين لها متجهين v و w وتعطي متجه ثالث يُرمز إليه ب v + w. أما العملية الثانية، فتأخذ مدخلين لها عددا قياسياً ما a (أي عنصرا من F) و متجه ما v وتعطي متجهة جديد يُرمز إليه ب av. قد تسمى العملية الثانية جداء عدديا أو ضرباً عدديا للمتجهة v بالعدد a. (مَيز عن الجداء القياسي الذي يأخذ مدخلين له متجهتين اثنتين ويعطي عددا).

مصفوفة تحويل

• طريقة التبسيط (برمجة)
• انحدار خطي، طريقة تستعمل في التقدير الإحصائي.
• مراجع

حل المعادلات الخطية

كمثال: إذا كانت المعادلات التاليةنظام خطي.

لهذا النظام، يمكن للمرء أن يمثل معاملاته بالمصفوفة التالية

كذلك، وتشكل أنظمة المعادلات الخطية جزءًا أساسيًا من الجبر الخطي. تاريخيًا ساهم البحث عن حل لهذه المعادلات في تطوير الجبر الخطي والمصفوفات. في الترميز الحديث للجبر الخطي الذي يستعمل فضاءات المتجهات والمصفوفات، يمكن التعامل مع الكثير من المسائل على أنها أنظمة خطية.

علاوةً على ذلك، مجموعة المعادلات الخطية ذات العدد المحدود من المتغيرات مثل ، أو تسمى نظام المعادلات الخطية أو النظام الخطي.