متتالية

أنواع أخرى من المتتاليات

انظر إلى مجموعة مرتبة جزئيا وإلى دالة رتيبة.

علاوةً على ذلك، تُدعى متتالية ما جدائية إذا كان حينما يكون x و y أوليين فيما بينهما. متتالية موبيوس مثال على ذلك.

نهاية متتالية وتقاربها

في علم الحاسوب

• في علم الحاسوب، متتالية منتهية من الحروف تسمى سلسلة.
• انظر كذلك
• المتتالية 1±
• متتالية حسابية
• متتالية هندسية
• متتالية كوشي
• تبديل
• علاقة متعدية

تعريف

• يُسمى متتاليةً عدديّةً كل تطبيق منطلقه مجموعة الأعداد الطبيعية ومستقره حقل .
• نرمز عادة إلى المتتالية بالرمز أو عوضاََ عن:
• تعريف متتالية من خلال الاستدعاء الذاتي (التعريف التدرجي) :

كذلك، كون كل حد في المتتالية متعلقاً بالحد أو الحدود التي قبله، كأن يكون كل حد هو مجموع الحدين اللذين قبله.

• مثال: مهما يكن نعرف المتتالية كما يلي:
• تعريف متتالية دالة :
• مثال:

متتالية عددية حقيقية متقاربة

من جانب آخر، نقول عن المتتالية أنها متقاربة من العدد الحقيقي إذا وفقط إذا كان .

ومن جهة أخرى، نقول عن العدد انه نهاية المتتالية العددية و نكتب: عندما وفقط عندما يتحقق ما يلي:

حيث العدد الطبيعي يتغير في الحالة العام بتغير العدد .

كذلك، ونقول عن المتتالية العددية الحقيقية اللانهائية التي توجد لها نهاية بإنها متتالية متقاربة . وإذا كانت هذه النهاية تساوي نقول عن هذه المتتالية انها متقاربة من

ويمكن كتابة تعريف المتتالية المتقاربة في بالشكل التالي:

المتتاليات الجزيئة

علاوةً على ذلك، وننوه أن: من أجل كل وهذا يعني انه من اجل كل يكون الحد إما يساوي الحد أو يساوي أحد الحدود التي تلي الحد , ويمكن البرهان على هذا بالاستقراء: فمن أجل تكون القضية صحيحة لان الحد هو إما أو أحد الحدود التي تلي في المتتالية و لنفرض أن المتباينة صحيحة من اجل عندئذ نجد أن: وبهذا قد أثبتنا المطلوب.

وعلى صعيد آخر، لتكن المتتالية العددية ولنختر من بين حدودها حدََا نرمز له بالرمز ثم نحذف من هذه المتتالية الحدود فتبقى لدينا الحدود , ومن الحدود المتبقية نختار الحدََا نرمز له بـ ونكرر نفس عملية الحذف وهكذا حتى نحصل على المتتالية الجديدة: , تدعى هذه المتتالية بالمتتالية الجزئية من المتتالية و يكون الحد العام للمتتالية الجزئية هو و نلفت النظر ان رقم الحد يتعين بواسطة وليس .

وفي السياق ذاته، المتتالية الجزئية لمتتالية ما، هي متتالية تتكون من عناصر المتتالية الأصلية، بعد حذف بعض العناصر منها، دون تغير الترتيب النسبي الذي جاءت فيه العناصر غير المحذوفة. مثلًا، مجموعة الأعداد الزوجية 0، 2، 4، 6... هي متتالية جزئية من متتالية الأعداد الطبيعية، 0، 2، 4، 6، 8.... (في هذا المثال حذفت جميع الأعداد الفردية).

المتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية

وعلى صعيد آخر، يُقال عن متتالية عددية أنها متتالية مطردة أو متتالية رتيبة إذا كانت إما متتالية تصاعدية أو تنازلية أو تصاعدية تماما أو تنازلية تماما.

علاوةً على ذلك، قد تكون متتالية ما حسابيةً إذا كان الفرق بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثاً، وتكون هندسيةً إذا كانت النسبة بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثة. وقد تكون غير ذلك (أي أنها ليست حسابية وليست هندسية).

المتتاليات المطردة (أو الرتيبة)

نبذة تاريخية

ومن ناحية أخرى، دُرِسَت المتتاليات العددية الأولى في اليونان القديمة، مثل متتالية الأعداد الأولية وأرخميدس قام بأعمال حول المتتاليات التي نهايتها تساوي p.

• المتتاليات الحسابية والهندسية ظهرت في أوروبا وفي الصين في القرون الوسطى.
• في عصر النهضة درست المتتاليات المعروفة لدينا الآن.
• التعريف الرسمي والخصائص الأساسية

وفي هذا الصدد، في القرن الثالث عشر اكتشف الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي المتتالية التراجعية البسيطة التي تحمل اسمه: مع و والتي تترجم نمو تكاثر الحيوانات وتدخل المتتالية في توزيع وترتيب اوراق بعض النباتات بحيث يضمن هذا التوزيع وصول أكبر قدر من اشعة الشمس، وقد أثبت عام 1975 بأن عناصر هذه المتتالية تمثل جذورا لكثيرات حدود من الدرجة الخامسة. .

المبرهة الأولى: وحدانية نهاية متتالية

في هذا الإطار، لو كان لكان وبالتالي لكان يوجد عدد بحيث يكون عندما وهذا غير ممكن اذن وهو المطلوب.

• إذا كانت المتتالية العددية متقاربة من العدد ومن العدد فإن .
• الاثبات: ليكن عندئذ ويوجد عددان طبعيان يختلفان عن الصفر و بحيث يكون:
• ومنه يوجد عدد الطبيعي بحيث يكون:
• وبهذا قد برهن على القضية الصحيحة الاتية:
• ومنه يمكن استنتاج أن كما يلي:

متتالية تصاعدية ومتتالية تنازلية

وفي هذا السياق، يقال عن متتالية ما أنها تصاعدية إذا كان كل حد أكبر من الحد الذي يسبقه أو يساويه. ويقال عنها أنها تصاعدية تماماً أو تصاعدية قطعا إذا كان كل حد أكبر تماماً من الحد الذي يسبقه. ويقال عن متتالية ما أنها تنازلية إذا كان كل حد أصغر من الحد الذي يسبقه أو يساويه. ويقال عنها أنها تنازلية تماماً أو تنازلية قطعا إذا كان كل حد أصغر تماماً من الحد الذي يسبقه.

• بالتعبير الرياضي، يُقال عن المتتالية العددية أنها:
• تصاعدية إذا كان من أجل كل
• تنازلية إذا كان من اجل كل
• تصاعدية تماما إذا كان من اجل كل
• تنازلية تماما إذا كان من اجل كل

متتالية عددية حقيقية لانهائية محدودة

من جانب آخر، أي أن مجموعة قيم أي متتالية عددية حقيقية لا نهائية تكون مجموعة اما منتهية وغير خالية أو غير منتهية وتكون إما محدودة أو غير محدودة.

كذلك، ويُقال أنها محدودة من الأعلى إذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأعلى يُقال أنها محدودة من الأدنى إذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأدنى.

في هذا الإطار، يُقال عن المتتالية محدودة إذا كانت محدودة في أي: مهما كان يكون: .

أو: من أجل كل و عدد حقيقي موجب.

علاوةً على ذلك، ويُقال أن متتالية ما محدودة عندما تكون مجموعة قيمها محدودة من الأعلى والأدنى في اَن واحد.

التحليل الرياضي

علاوةً على ذلك، دراسة المعادلات التفاضلية: نحصل على حلول هذه المعادلات في الكثير من الأحيان نهايات متتاليات تقربنا شيئا فشيئا من الحل الدقيق.

في هذا الإطار، ومن التطبيقات التي نجدها في المتتاليات أنها تمكن من تعريف الكثير من الدوال المألوفة مثل:

فضاء باناخي (Banach (1945-1892 مثل - يمر عبر المتتاليات.

• الدالة الأسية.
• الدالة المثلثية جب.
• الدالة المثلثية تجب.
• الدالة اللوغاريتمية (بوصفها الدالة العكسية للدالة الأسية).
• الدالة المثلثية ظل (بوصفها نسبة للدالتين المثلثيتين جب وتجب).

وفي هذا السياق، تعريف مفاهيم رياضية أخرى: الانتقال مثلا من تعريف مفهوم المكاملة للدالة معرفة على مجال حقيقي وتأخذ قيمها في فضاء مجرد.

من جهة ثانية، الحساب (أو التحليل) العددي: التقريبات وتقديرات الأخطاء تتم عموما عبر المتتاليات.

الاثبات

• 1) لتكن متتالية متقاربة من وليكن عندئذ يوجد بحيث أن:
• ثم نفرض أن عندئذ يكون:
• وحسب تعريف يمكن القول أنه يوجد عدد طبيعي بحيث يكون:
• اذن وهذا يعني أن متقاربة من .
• وبالعكس نفرض أن متتالية متقاربة من وليكن عندئذ يوجد بحيث يكون:
• وحسب تعريف يمكن ايجاد عدد طبيعي بحيث يكون:
• اذن وهذا يعني أن متقاربة من .

وعلى صعيد آخر، 2) لتكن متباعدة ولنفرض أن متقاربة وعندئذ وحسب (1) تكون وهذا مستحيل ومنه متباعدة.

إضافةً إلى ذلك، وبالعكس لتكن متباعدة ولنفرض أن أنها متقاربة وحسب (1) تكون وهذا مستحيل اذن متباعدة.

المتسلسلات

وعلى صعيد آخر، مجموع حدود متتالية هو متسلسلة. وبتعبير أدق، إذا كانت (x3, x2, x1, ...) متتالية، فإنه قد يُنظر إلى متتالية المجاميع الجزئية (S3, S2, S1, ...) حيث:

المتتاليات في مجالات أخرى من الرياضيات

المبرهنة الرابعة: تقارب المتتاليات الجزئية

في هذا الإطار، الاثبات: اولا نفرض أن كل متتالية جزئية من المتتالية متقاربة من عندئذ تكون المتتالية متقاربة من لانها متتالية جزئية من نفسها.

كذلك، تكون المتتالية العددية متقاربة من إذا وفقط إذا كانت كل متتالية جزئية منها متقاربة من .

إضافةً إلى ذلك، ثانيا لنفرض أن المتتالية متقاربة من ولنأخذ منها متتالية جزئية اختيارية ولتكن ثم نأخذ عندئذ يوجد بحيث يكون: لما كان من أجل كل فإن الحد إما أن يساوي أو يكون يكون واقعا على يمين الحد في المتتالية ومنه يكون: إذن المتتالية الجزئية متقاربة من . وبهذا قد أثبتنا المطلوب.

المبرهة الثانية: كل متتالية متقاربة محدودةٌ

ومن ناحية أخرى، الاثبات: لتكن المتتالية متقاربة ولنفرض انها متقاربة نحو عندئذ يوجد من اجل كل العدد الحقيقي الموجب 1 عدد طبيعي يختلف عن الصفر بحيث يكون:

كل متتالية عددية متقاربة تكون محدودة.

• ومنه يوجد العدد الحقيقي الموجب: بحيث يكون من أجل كل :
• ومنه: وهذا يعني ان مجموعة قيم المتتالية محدودة وبالتالي فالمتتالية محدودة.
• ليس من الضروري ان كل متتالية عددية محدودة تكون متقاربة.

متتالية متباعدة

علاوةً على ذلك، نهاية هذه المتتالية هو ما لا نهاية له. المتتالية الحيادية التي تربط كل عدد n بنفسه مثال على ذلك.

من جانب آخر، المتتالية حيث متتاليتان جزئيتان تقتربان من نهايتين مختلفتين. المتتالية المتناوبة مثال على ذلك.

وفي السياق ذاته، يُقال عن متتالية عددية أنها متباعدة إذا لم تكن متقاربة. ويتوفر ذلك في إحدى الحالتين التاليتين:

متتالية كوشي

في هذا الإطار، يُقال عن متتالية أنها لكوشي إذا كانت حدود هذه المتتالية تتقارب من بعضها البعض بشكل غير محدود من القرب كلما آل n إلى ما لا نهاية له. سُميت هذه المتتاليات هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي.

مبرهنات اساسية حول التقارب

الطوبولوجيا

وفي السياق ذاته، مفهوم الكثافة: كثافة مجموعة جزئية من فضاء طبولوجي في نفس الفضاء أو فضاء آخر. فأنت إذا أردت مثلا إثبات مساواة أو متباينة في مجموعة الأعداد الحقيقية يكفيك في أغلب الأحيان أن تثبتها في مجموعة الأعداد الناطقة، وهذا بفضل كثافة هذه المجموعة الأخيرة في مجموعة العداد الحقيقية. انظر إلى فضاء متري.

المبرهنة الثالثة: إزاحة حدود متتالية

وفي هذا الصدد، لتكن المتتالية العددية ليكن و لنفرض أنه من اجل كل يكون ولنأخذ المتتالية العددية عنذئذ:

المتتالية متباعدة لمتتالية متباعدة.

المتتالية متقاربة من المتتالية متقاربة من .