تم النشر اليوم 16-12-2025 | راديان تعريف

تعريف

يعرّف الراديان الواحد على أنّه زاوية مركزية الزاوية المركزيّة في دائرة التي تقابل قوس (هندسة) قوسًا طوله مساوٍ لطول نصف قطر الدائرة. Circle arc radius.png تصغير زاوية مركزيّة مقدارها 1 راديان تكون مقابلة لقوس طوله يساوي طول نصف قطر الدائرة وبشكل عام، فإنّ مقدار أي زاوية مركزيّة يحصرها نصفا قطر ما بالراديان تساوي النسبة بين طول القوس المقابل للزاوية وبين نصف قطر الدائرة، أي أنّ

heta frac l R

بحيث أنّ

heta هي الزاوية المركزيّة،

l هو طول القوس،

وR هو طول نصف قطر الدائرة.

بالمقابل، فبالإمكان حساب طول قوس في دائرة نصف قطرها R يقابل زاوية مركزية مقدارها heta l heta cdot R من هذا القانون بالإمكان الاستدلال على مقدار الراديان الواحد. فإنّ زاوية دائرية كاملة تعادل 360^ circ ، وهي تقابل قوسًا يساوي كل محيط الدائرة، لذا فإنّ مقدارها بالراديان هو frac 2 pi R R 2 pi. إذا كانت زاوية مقدارها 360 درجة تعادل 2 pi راديان، فيعادل الراديان الواحد frac 180 pi درجة.

تاريخ

أوّل من أتته فكرة الراديان كان الرياضي البريطاني روجر كوتس ، عام 1714. مع أنّه لم يطلق على الفكرة كلمة < >راديان، فقد فهم كوتس مدى بديهيّة المفهوم كوحدة للقياس الزاوي.

تحويل بين الراديان والدرجة

للتحويل من راديان إلى درجة (زاوية) درجات يجب أن نضرب الراديان بالقيمة frac 180 pi . فعلى سبيل المثال

1 mbox rad frac 180 pi approx 57.29578^ circ

frac pi 3 mbox rad frac pi 3 cdot frac 180 pi 60^ circ

وبالمقابل، فللتحويل من درجات إلى راديان، يجب أن نضرب بالقيمة frac pi 180

1^ circ frac pi 180 approx 0.01745 mbox rad

90^ circ 90 cdot frac pi 180 frac pi 2 mbox rad

إمكانيّة أخرى هي تحويل مقدار الزاوية بالراديان إلى عدد الدورانات بواسطة القسمة على 2 pi. فمثلاً، إنّ 6 pi mbox rad تعادل ثلاثة دورات كاملة. 3 + قائمة بأكثر الزوايا شيوعًا وقيمها بالدرجات وبالراديان ! جزء الدائرة 0 frac 1 12 frac 1 8 frac 1 6 frac 1 4 frac 1 2 frac 3 4 1 - ! الزاوية بالدرجات 0^ circ 30^ circ 45^ circ 60^ circ 90^ circ 180^ circ 270^ circ 360^ circ - ! الزاوية بالراديان 0 frac pi 6 frac pi 4 frac pi 3 frac pi 2 pi frac 3pi 2 2 pi

التحليل البعدي

كثيرًا ما يستخدم الراديان كوحدة القياس المفضّلة في العديد من المجالات. ففي حساب التفاضل و التكامل ، مثلاً، يساعد كون الراديان كميّة غير بعديّة في صياغ المعادلات والبراهين، وهذا بسبب عدم وجود حاجة إلى إلغاء وحدة القياس. إنّ استعمال الراديان، خاصّة في الدوال المثلثية ك جيب الجيب و جيب التمام وغيرها، هو بسيط. فمثلاً بواسطة الراديان بالإمكان برهنة نهاية الدالة الآتية

lim_ h ightarrow 0 frac sin h h 1,

وهي نتيجة أساسيّة. كذلك، بالإمكان برهنة عدد من المعادلات المثلثية

frac d dx sin x cos x

frac d^2 dx^2 sin x -sin x.

بسبب مثل هذه الخواص وغيرها، قد تظهر الدوال المثلثية بالتمثيل الرادياني في سياقات قد لا تمت بصلة مباشرة للمفهوم الهندسي الأصلي لتلك الدوال. فمثلاً، تكون هذه الدوال حلاًّ ل المعادلة التفاضلية لمعادلة التفاضلية التالية frac d^2y dx^2 -y. طريقة أخرى لرؤية الفائدة من وراء كون الراديان كميّة لا بعدية تظهر عند التمعن ب متسلسلة تايلور للدوال المثلثيّة

sin(x) x - frac x^3 3! + frac x^5 5! - frac x^7 7! + ldots

فإذا لم يكن الراديان كميّة غير بعديّة، لما كان بإمكان متسلسلة تايلور أن تكتب بهذه البساطة، إذ كان يتوجّب إلغاء البعد الفيزيائي للكمية لكي نتمكن من جمع كل الحدود، لأنّ كل منها بقوّة مختلفة. فلا يمكن أن نجمع حدًا بُعده متر وحدًا بُعده متر^ 3 .

الاستعمال في الفيزياء

إنّ استعمال وحدة الراديان في الفيزياء أمر شائع لقياس الزوايا. فعلى سبيل المثال، تقاس ال سرعة زاوية سرعة الزاوية في غالب الأحيان بوحدات راديان في الثانية ( frac rad sec ). وإنّ وحدة الدورة في الثانية تعادل 2 pi mbox rad في الثانية. كما ويقاس تسارع زاوي التّسارع الزاويّ بشكل عام بوحدة الراديان في الثانية في الثانية ( frac rad sec^2 ). يعود سبب الاستعمال الشائع للراديان في الفيزياء إلى نفس أسباب استعماله في الرياضيات - فإنّ استعمال الكمية يبسط الأمور في الكثير من الأحيان. معلومات وحدة قياس Radian-common.svg تصغير 300بك بعض الزوايا الشهيرة مقاسة بالراديان Circle radians تصغير طول قوس الدائرة مساوي نصف قطر لنصف قطرها يعادل زاوية بمقدار واحد راديان (rad) طول كامل قوس الدائرة يعادل زاوية بمقدار 2 ط (رياضيات) ط راديان الزاوية نصف القطريةقاموس المورد، البعلبكي، بيروت، لبنان. أو الراديان أو التقدير الدائري هي وحدة قياس زاوية للزوايا المستوية وهي الوحدة الرسمية المعتمدة ضمن ال نظام دولي للوحدات نظام الدولي للوحدات المستخدمة في رياضيات الرياضيات وال فيزياء وتعرف بأنها زاوية مركزية الزاوية المركزية المتوضعة على مركز دائرة الدائرة والتي تحدد قوس قوساً طوله مساوي ل نصف قطر دائرة الدائرة . يعادل الراديان الواحد frac 180 pi درجات، أي بالتقريب 57.29578^ circ . رسميًا، فإنّ الراديان كمية لا بعدية ، بعكس ثانية الثانية أو متر المتر ، فهو مجرّد عدد. لذا فإنّ تدوين كلمة راديان (أو rad) هو للإيضاح فقط ويجب ألاّ يفهم منه أنّ له مفهومًا فيزيائيًا. عندما تكتب الزاوية بدون أي علامة، يقصد بشكل عام أن القيمة هي بالرىديان، بينما تضاف العلامة ^ circ للإشارة إلى الدرجة. إنّ وحدة القياس الرسمية المعتمدة ضمن النظام الدولي للوحدات زاوية صلبة للزاوية الفراغية الصلبة هي ستراديان الستراديان ، وهي، بعكس الراديان، كميّة بعديّة ذات مفهوم فيزيائي.