[ تعرٌف على ] متباينة المحيط الثابت

تم النشر اليوم 12-12-2025 | [ تعرٌف على ] متباينة المحيط الثابت
تم النشر اليوم [dadate] | متباينة المحيط الثابت

ملاحظات

. منحنى ثابت العرض.

مسألة متباينة المحيط الثابت في المستوى

تعود مسألة المحيط الثابت إلى القِدمِ، وتصاغ كالآتي: «من بين جميعِ المُنحنياتِ المُغلَقةِ ذات مُحيطٍ مُعطىً، أيُّها يجعلُ مساحتها أكبر ما يُمكن؟» وُجِدَ أنّ هذه المسألةَ مُكافئةٌ لمسألة شبيهة: «من بين جميع المنحنيات المُغلقة ذات مساحةٍ مُعطاةٍ، أيُّها يجعلُ محيطَها أكبرُ ما يُمكن؟» ترتبط هذه المسألةُ بمفهومِ مبدأِ الفعلِ الأدنى في الفيزياء، والذي بالإمكان صياغته على الصورة: ما «الفعلُ الذي يجعل المساحة أكبر ما يُمكن بأقلّ جهدٍ ممكن؟» على الرغم من أنَّ الدائرةَ كانت الحل الأوضح لهذه المسألة، إلا أنّ إثباتَ ذلكَ كان صعباً. أوّل محاولة أنَجَزَتْ في السؤالِ كانت سنة 1838م عندما استعمل المهندس الرياضياتي السويسري ياكوب شتاينر طريقةً هندسيةً أُسميَت لاحقاً بطريقةِ شتاينر للاستنظار. أثبت شتاينر أنَّه إذا وُجِدَ حلٌّ لهذه المسألةِ فلا بُدّ وأن يكون دائرةً. استئنف رياضيّون حلّ شتاينر لاحقاً وأكملوه. بدأ شتاينر بأول الإنشاءات الهندسية التي عُرفت جيداً؛ فعلى سبيلِ المثالِ، إن كان هناك منحنى مغلق ليس محدباً بالكامل، فبالإمكان إيجاد منحنى أكثر تحدباً منه وأعلى في المساحة عن طريق طَيّ الأجزاء المقعرة لجعلها محدبة. وبُرهِنَ أيضاً أن أي شكل لامتماثل بالإمكان تمديده بحيث يُغطي مساحةً أكبر. ولأن الشكل الوحيد المُحدب والمتناظر تماماً هو الدائرة فإن الحل كان لا بد وأن يكون هو. مع ذلك، هذا الحل بمفرده لا يُقدّمُ بُرهاناً صارماً للمسألة، إذ أنَّه مليءٌ بالثغرات التي تحتاج إلى المراجعة.

شرح مبسط

متباينة المحيط الثابت أو متباينة ثباتيَّةُ المحيط (بالإنجليزية: Isoperimetric inequality)‏[ملاحظة 1] هي متباينةٌ هندسيةٌ تشتمل حسابَ محيطِ مجموعةٍ ومساحتها. وفي الهندسة المستوية تتحول المسألة إلى مسألة خاصة تتضمن حساب محيط لمنحنى مغلق لسطح مستو، وحساب مساحة السطح المستو المحصور. وقد يشتمل مصطلح التباين المحيطي على العديد من التعاميم الرياضية كما يستدل عليه المصطلح. تكمن مسألة التباين المحيطي في حساب السطح المستو الممثل بأكبر مساحة ممكنة والذي حدها الخارجي لديه طول معين.