عدد عقدي

مرافق عدد عقدي

ومن جهة أخرى، مرافق العدد العقدي هو العدد العقدي . يُرمز لمرافق العدد العقدي بالرمز . هندسيا، هو انعكاس حول محور الأعداد الحقيقية. هكذا محاولة الحصول على مرافق مرافق عدد عقدي ما تعطي العدد ذاته : .

وفي هذا السياق، يمكن أن يستخلص الجزءان الحقيقي والتخيلي انطلاقا من مرافق عدد عقدي ما، كما تبين المعادلتان التاليتان :

• أي أن مرافق مجموع عددين عقديين هو مجموع مرافق كل من حدي المجموع.
• أي أن مرافق حاصل ضرب عددين عقديين هو حاصل ضرب المرافقين لهذين العددين.
• أي أن مرافق حاصل قسمة عددين عقديين هو حاصل قسمة المرافقين لهذين العددين.
• مقلوب عدد عقدي ما مختلف عن الصفر ، هو :
• لاحظ أن ناتج عملية القسمة السابقة نحصل عليه بضرب كلا من
• البسط والمقام في العدد المرافق للمقام.
• الجذر التربيعي لحاصل ضرب عدد عقدي في مرافقه يسمى معيار العدد العقدي.

كذلك، علاوةً على ذلك، فإن عددا عقديًا ما حقيقيٌ إذا وفقط إذا كان مساويا لمرافقه.

وعلى صعيد آخر، البحث عن المرافق يتوزع على العمليات الحسابية الاعتيادية كما تبين المعادلات التالية:

نظرة شاملة

وعلى صعيد آخر، لا تقبل أي حل حقيقي لأن مربع عدد حقيقي إما يساوي الصفر أو هو موجب. الأعداد العقدية تمنح حلاً لهذه المعضلة. الفكرة هي تمديد الأعداد الحقيقية بالوحدة التخيلية i حيث , مما يمكن من إيجاد حل للمعادلة السابقة. في هذه المعادلة الحل هو . هكذا، ليس فقط تصبح جميع المعادلات التربيعية ذات المتغير الواحد قابلة للحلحلة، بل كذلك، تصبح جميع المعادلات الحدودية ذات المتغير الواحد قابلة للحلحلة باستعمال الأعداد العقدية.

وفي السياق ذاته، تمنح الأعداد العقدية حلولا لبعض الأنواع من المعادلات التي لا تقبل أية حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية : المعادلة

التمثيل الجبري

يكتب العدد العقدي z جبريًا بالشكل:

الضرب والقسمة

• تتم عملية الضرب كما يلي:
• تتم عملية القسمة كما يلي:
• بضرب البسط والمقام بمرافق المقام.

العمليات الأساسية

وفي هذا الصدد، نفس العمليات والقواعد الحسابية في الأعداد الحقيقة يمكن تطبيقها على الأعداد العقدية. باستعمال تجميعية الجمع وتوزيعية الضرب نحصل على ما يلي:

معالجة الإشارة

تستعمل الأعداد العقدي في معالجة الإشارة.

الهندسة الرياضية

تعريف

عدد عقدي هو عدد يُكتب على الشكل التالي :

إضافةً إلى ذلك، العدد الحقيقي a الذي يظهر في تعريف العدد العقدي z = a+ bi يسمى الجزء الحقيقي ل z، بينما يسمى b الجزء التخيلي ل z. هكذا، الجزء التخيلي لعدد عقدي ما، هو عدد حقيقي (لا يتضمن الوحدة التخيلية) : الجزء التخيلي ل z هو b وليس bi. يُرمز للجزء الحقيقي ب (Re(z أو (ℜ(z, ويُرمز إلى الجزء التخيلي ب (Im(z أو (ℑ(z. مثلًا،,

وفي هذا السياق، حيث a و b عددان حقيقيان و i هي الوحدة التخيلية, وتحقق i2 = −1. مثلًا، هو عدد عقدي. عادة، يُشار إلى العدد العقدي ب a وإلى العدد العقدي ب . فضلًا عن ذلك، عندما يكون الجزء التخيلي سالبا، يكتب العدد العقدي على شكل حيث b موجب بدلا من . مثلًا، يُكتب بدلا من .

رمز مجموعة الأعداد العقدية هو أو .

وفي السياق ذاته، أحيانـًا، يُكتب العدد العقدي z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجال الهندسة الكهربية، وذلك باستخدام الرمز "j" بدلا من "i"، لأن "i" هو رمز التيار الكهربي)

المثلثات

انظر إلى مبرهنة ماردن وإلى دالة تكعيبية.

المستوى العقدي

وفي هذا الصدد، يمكن أن يُنظر إلى عدد عقدي على أنه نقطة أو متجه ينطلق من أصل المَعلم في نظام إحداثيات ديكارتي ثنائي الأبعاد يسمى المستوى العقدي أو رسم أرغند البياني, المسمى هكذا نسبة إلى جون روبرت أرغند. عادة ما يُرسم الجزء الحقيقي لعدد عقدي على المحور الأفقي بينما يُرسم جزؤه التخيلي على المحور العمودي.

الهندسة الكسيرية

من جانب آخر، عد من الكسيريات يرسم في المستوى العقدي. مثلًا مجموعة ماندلبرو ومجموعات جوليا.

ليكن أعدادا عقدية (تسمى معاملات). للمعادلة

ومن جهة أخرى، حل واحد على الأقل z، إذا افتُرض أنه على الأقل أحد الأعداد ذات الدرجات الأعلى، غير مساو للصفر. هذا هو نص المبرهنة الأساسية في الجبر. لهذا السبب، يُقال عن المجموعة C أنها حقل مغلق جبريا. هذه الخاصية ليست متوفرة في حقل الأعداد الجذرية Q (ليس لمتعددة الحدود من جذر كسري بما أن حلها هو و هو عدد غير كسري). مجموعة الأعداد الحقيقية R لا تمتلك هي كذلك هذه الخاصية (ليس لمتعددة الحدود من جذر حقيقي عندما يكون a موجبا قطعا).

وفي السياق ذاته، انظر إلى مبرهنة ليوفيل وإلى طوبولوجيا وإلى نظرية غالوا وإلى مصفوفة مربعة وإلى القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.

التمثيل الهندسي أو القطبي

من جانب آخر، الشكل الجبري للأعداد العقدية هو لذا فكل عدد عقدي هو زوج مرتب في محور الأعداد، وكل زوج كهذا يمكن حساب إحداثياته بواسطة الزاوية المتكونة من التقاء محور مع الخط المستقيم الخارج من نقطة الأصل ويمر في الزوج , وأيضا بواسطة طول الخط المحصور بين و- . هذه الإمكانية تسمح بصياغة العدد العقدي بالشكل التالي :

التمثيل الأسي

حيث:

الدوال التامة الشكل

ومن ناحية أخرى، حيث a و b عددان عقديان. يكون هذا التحويل كامل الشكل إذا وفقط إذا كان b مساويا للصفر.

وفي السياق ذاته، يقال عن دالة f : C → C أنها دالة تامة الشكل إذا حققت معادلات كوشي-ريمان. مثلًا، كل تحويل خطي C → C يكتب على الشكل :

التحليل العقدي

وفي هذا الصدد، دراسة الدوال اللائي متغيراتها أعداد عقدية، تسمى التحليل العقدي، وله تطبيقات هائلة في الرياضيات التطبيقية كما في باقي فروع الرياضيات. عادة، البراهين الأكثر بساطة في التحليل الحقيقي وحتى في نظرية الأعداد تستعمل تقنيات مستمدة من التحليل العقدي (انظر مبرهنة الأعداد الأولية مثلًا).

تمثيل الأعداد العقدية

إضافةً إلى ذلك، إذا كان z عددا عقديا، و a و b عددين حقيقيين، و i هو الوحدة التخيلية، فمن الممكن تمثيل العدد العقدي z كما يلي:

الجمع والطرح

تتم عملية الجمع كما يلي:

وكذلك عملية الطرح كما يلي:

من جانب آخر، يلاحظ أن الجزء الحقيقي للناتج هو محصلة الجزئين الحقيقيين للعددين، وبالمثل الجزء التخيلي للناتج هو محصلة الجزئين التخيليين للعددين.

لحق نقطة ولحق متجهة

ومن ناحية أخرى، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالمتجهة من التي أفصولها a وأرتوبها b، هو تطبيق تقابلي والعدد العقدي يسمى 'لحق' المتجهة .

وفي السياق ذاته، من ، هو تطبيق تقابلي والعدد العقدي يسمى 'لحق' النقطة M ويرمز له بالرمز

• تطبيقات
• نظرية التحكم
• نظرية التحكم

وعلى صعيد آخر، المستوى منسوب لمعلم متعامد، متجانس (ممنظم) ، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالنقطة M التي زوج احداثياتها

يكتب العدد على شكل

• حيث:
• الخصائص
• حلول المعادلات الحدودية

نظرية الأعداد التحليلية

• انظر كذلك
• هندسة عقدية
• الجذر التربيعي العقدي
• عدد أيزنشتاين الطبيعي
• متطابقة أويلر
• عدد طبيعي غاوسي
• مجموعة ماندلبرو
• كواتيرنيون

وعلى صعيد آخر، تدرس نظرية الأعداد التحليلية الأعداد الطبيعية والجذرية، مستغلة كونها قابلة للتمثيل على شكل أعداد عقدية. مثلًا، ترتبط دالة زيتا لريمان بتوزيع الأعداد الأولية.

و

حيث sgn هي دالة الإشارة.

كرة ريمان

جذور الوحدة (تحليل عقدي).

معيار المصفوفة

جريان الموائع

انظر إلى جريان الموائع.

التاريخ

انظر إلى المبرهنة الأساسية في الجبر.

ومن ناحية أخرى، أول إشارة سريعة إلى الجذور المربعة للأعداد السالبة قد تعود إلى أعمال عالم الرياضيات الإغريقي هيرو السكندري، الذي عاش في القرن الأول بعد الميلاد.

إضافةً إلى ذلك، يرجع أول ظهور للأعداد العقدية إلى عام 1545 حينما نشر عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو كاردانو حلحلة للمعادلات من الدرجة الثالثة.

وفي هذا الصدد، فيما بعد، عمل على هذا الموضوع كل من ريتشارد ديدكايند وأوتو هولدر وفيليكس كلاين وهنري بوانكاريه وهيرمان شفارز وكارل فايرشتراس وآخرون.

ومن جهة أخرى، في سنة 1748، ذهب ليونهارت أويلر إلى أبعد من ذلك مطورا لصيغة أويلر في التحليل العقدي:

إضافةً إلى ذلك، ولكنه فهمه لهذه الأعداد كان بدائيا. فيما بعد عمل عالم الرياضيات رافائيل بومبيلي في هذا المجال.

الجذر التربيعي

انظر كذلك الجذر التربيعي للأعداد السالبة وللأعداد العقدية

الجذران التربيعيان للعدد العقدي a + bi (مع b ≠ 0) هما حيث :

نظرية الأعداد الجبرية

من جانب آخر، لكل معادلة حدودية غير ثابتة وذات معاملات عقدية، كما سبق ذكر ذلك، حل في C. هذه المسألة تبقى صحيحة حتى إذا كانت هؤلاء المعاملات أعدادا كسرية. جذور هذه المعادلات تسمى أعداد جبرية. تشكل الأعداد الجبرية موضوع دراسة أساسي في النظرية الجبرية للأعداد.

وفي السياق ذاته، انظر إلى حقل (رياضيات) وإلى حقل الأعداد الجبرية وإلى جذور الوحدة (تحليل عقدي) وإلى تساعي (مضلع) وإلى إنشاءات الفرجار والمسطرة وإلى عدد طبيعي غاوسي وإلى مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين.